d d 21 Loi de Coulomb : champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponc-tuelle Les champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle qen Osont V(M) = q 4:ˇ:" 0 OM et! ) Vous êtes sur la page : Licence 1 > Electromagnétisme 1 > Cours 1 : champ électrostatique. q_{1} : \text{charge électrique au point P en Coulomb (C). y S Représenter le champ électrique créé au point M dans les cas suivants : Exercice 4 : élément infinitésimal de surface et surface. → π 3 Pour ce qui est des symétries, nous en avons parler précédemment, le fil admet deux plans de symétrie, ce qui élimine les composantes suivant $\overrightarrow{e_\theta}$ et suivant $\overrightarrow{e_z}$. E &= ∯_S E_r(r)\overrightarrow{e_r}\cdot\overrightarrow{n_{ext}}\quad dS θ i Soit finalement : ( π Pourtant, les forces électrostatiques ont peu d'effet à grande échelle, tandis que la gravitation explique le mouvement des astres. }\\ i a \end{equation}, \begin{equation} puisque celle-ci ne dépendait pas de r (r est constant puisqu'il définit la position du point M et donc celle de la surface de Gauss). Partenaires, \begin{equation} }\\ → ε M Soit une sphère creuse de diamètre R, uniformément chargée en surface, de densité surfacique de charge σ, à distance r du centre : Soit une sphère pleine de diamètre R, uniformément chargée en volume, de densité volumique de charge ρ, à distance r du centre : Conséquence du théorème de Gauss, nous retrouvons dans les deux cas à l'extérieur de la sphère un champ égal à celui d'une charge Q ponctuelle placée au centre de la sphère : r + ε x = D'autre part, les champs sont directement opposés en deux points symétriques par rapport au plan. dz &= \frac{r}{\cos^2\alpha} d\alpha r Mais cette distribution n'est pas invariante par translation suivant r, car on ne voit pas la même distribution en se déplaçant suivant un rayon : {\displaystyle V(z)={\frac {\sigma }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{0}^{R}{\frac {2\pi r\,dr}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}\left({\sqrt {R^{2}+z^{2}}}-z\right)}. ) le cours EM11 sur le champ électrostatique, Une unique vidéo sur le circuit RLC série, Une série de vidéos sur les circuits comportant R, L et C, Une série de vidéos sur le régime sinus qui est en lien avec le. \end{equation}, \begin{equation} \cos \alpha = \frac{r}{R} \Longleftrightarrow R = \frac{r}{\cos \alpha} Partie . Pour la gravitation, au contraire, dont l'expression de la force a un signe opposé à celui de l'électrostatique, bien que les masses aient toutes le même signe positif, elles s’attirent toutes, au lieu de se repousser comme le font des charges électriques de même signe. Exemple: Si on a une distribution sphérique de charge de centre O, alors tout plan passant par O est un plan de symétrie : en conséquence, le champ résultant en M est dans tous les plans contenant OM et donc d II. 4 4 + → λ ( 2 3 E Potentiel créé par une sphère uniformément chargée 2. ε Champ et potentiel électriques ont été exprimés ci-dessus dans le cas où les charges sont dans le vide. 2 Déterminer en tout point de l'espace le champ électrostatique créé par une boule (de rayon R) uniformément chargée (avec une densité volumique de charge ). , , \boxed{\overrightarrow{E}= \int_{P \in L} \frac{dq}{4\pi\epsilon_0PM^2}\overrightarrow{u}= \int_{P \in L} \frac{\lambda dl}{4\pi\epsilon_0PM^2}\overrightarrow{u}} x E V 2 \epsilon_{0} \text{: permittivité du vide. b ( On remarque que le paramètre arbitraire choisi h, qui représentait la hauteur du cylindre a bien disparu. V → 4 α \end{align*}. r E(M) = 1 4ˇ 0 q 1 (P 1M)2!u 1 (5) où !u 1 est le vecteur unitaire allant de P 1 vers M. Lorsqu’une charge ponctuelle qse trouve au point M, elle subit donc la force :! Ces charges créent en M un champ. x = M α \Phi : \text{flux du champ électrique à travers S exprimé en Volt fois mètre ($\mathrm{V.m}$). → r r x y x 3 ) − σ ( E 2 ∫ y . L'électrostatique décrit notamment les forces qu'exercent les charges électriques entre elles : il s'agit de la loi de Coulomb. d ) π Comme en gravitation, l'action à distance se fait par l'intermédiaire d'un champ : le champ électrique : Produit par 1 en 2 : π M Si on réussissait à éliminer, ne serait-ce que la dernière couche d'électrons des atomes, la matière se désintégrerait rien que par les forces de répulsion qui apparaîtraient entre les noyaux. 3 {\displaystyle {\vec {E}}(r,\theta ,z)=E_{r}(r,\theta ,z){\vec {e}}_{r}=E_{r}(r){\vec {e}}_{r}}. ρ = λ {\displaystyle d{\vec {E}}(x_{m},y_{m},z_{m})={\frac {\rho (x_{i},y_{i},z_{i})}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\overrightarrow {r_{im}}}{r_{im}^{3}}}\,dx_{i}dy_{i}dz_{i}} , d 1.4 Généralisation à n charges ponctuelles dans le vide; 2 Potentiel électrostatique créé par une distribution continue de charges fixes dans le vide. x Potentiel créé par un cylindre rectiligne infini uniformément chargé 1.9. , m → = 0 ( ) z ( − , V b E Il donne naissance initialement à 20 puis 8 équations, qui seront simplifiées en 4 par un dénommé Heaveside, toujours enseignées actuellement, nommées "équations de Maxwell". Il existe une expérience simple, que tout le monde peut faire, permettant de percevoir une force électrostatique : il suffit de frotter une règle en plastique avec un chiffon bien sec et de l’approcher de petits bouts de papier : c’est l’électrisation. Voici la première méthode qui permet de calculer le champ électrostatique créé par une distribution continue de charge. d ρ → = ) cos grad Alors qu'électricité et magnétisme étaient considérés comme deux phénomènes indépendants, Maxwell, grâce aux travaux de ses prédécesseurs, formalise 4 équations qui les unissent. \dfrac{\lambda \dfrac{r}{\cos^2 \alpha }d\alpha}{4\pi\epsilon_0 \dfrac{r^3}{\cos^3 \alpha}}\times r Ce cours est disponible aussi en vidéos. → = 2 4 Il est donc discontinu à la traversée de la surface.   d π Soit un fil de longueur très grande devant la distance d'observation \(OM = a\). ρ tan 4 b Pour obtenir le champ électrique total en un point M, il faut sommer (de façon continue) ces champs élémentaires sur l'ensemble de la ligne, de la surface ou du volume. P {\displaystyle =\left({\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{a}^{b}{\frac {(x_{M}-x)}{r^{3}}}\right)dx\,{\vec {i}}+\left({\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{a}^{b}{\frac {y_{M}}{r^{3}}}\right)dx\,{\vec {j}}}, Il reste à faire les deux intégrales sur x pour obtenir les composantes de : M respectivement : → }\\ 0 0 , z ) V z x Créons un pendule électrostatique. → ) ( , r q , Grâce aux lignes de champ, on a une idée de la cartographie du champ électrique dans une portion d'espace. 4 & = \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} sin Plus simplement, une expérience commune des effets de l'électrostatique est la sensation de recevoir une décharge en touchant un objet métallique par temps très sec, en descendant ou montant dans une voiture ou en retirant un vêtement en tissu synthétique. cos ρ que : m b R 12 {\displaystyle {\frac {\rho v}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iint _{S}{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}\cdot d{\vec {S}}=\iint _{S}{\frac {\rho v}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}\cdot d{\vec {S}}=\iint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}={\frac {\rho v}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,4\pi ={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}} 4 ) 2 = Le principe de superposition dit que le champ électrique rayonné en un point M de l'espace voisin de la distribution discrète est égal à la somme des champs électriques créés par chaque charge de celle-ci. e {\displaystyle V(x_{m},y_{m},z_{m})=\iiint {\frac {\rho (x_{i},y_{i},z_{i})}{4\pi \varepsilon _{0}|r_{im}|}}\,dx_{i}dy_{i}dz_{i}}, et en calculant les dérivées partielles 1 m ( ε E − De plus le champ électrique en un point de l'espace possède plusieurs composantes et dépend de plusieurs paramètres : La considération des symétries et invariances d'une distribution va permettre de simplifier cette expression de $\overrightarrow{E}(M)$ et donc de simplifier le calcul d'intégrales. obtenus aux cas de distributions de charges quelconques 1.6.1 Champ électrostatique créé par une distribution continue de charges Dans le cas du champ créé en M par une distribution volumique de charges : Le champ infinitésimal dE → créé par l’élément de volume dV situé en P et contenant la charge élémentaire dq = ρ(P) dV \Phi = ∯_S d\Phi = ∯_S \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}= ∯_S \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{n_{ext}}dS y ⋅ z Dans le cas d'une distribution de charges discrète : x , on déduit : r . d ) ( La dernière modification de cette page a été faite le 7 décembre 2020 à 08:54. Ce n'est pas la plus simple, mais nous pouvons mener le calcul à son terme grâce à la détermination préalable des symétries et invariances. x a - Champ créé par un segment uniformément chargé : (ex n°2) Olivier GRANIER 4 - Exemples de calculs directs de champs électrostatiques : b - Champ créé par disque uniformément chargé : (ex n°3) c - Champ créé par une sphère chargée en surface : (ex n°4) Olivier GRANIER II - LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE 1 - Cas de charges ponctuelles : On considère une charge. r \end{equation}, Cours 2 : pratiques de la démarche scientifique, Cours 3 : changement de référentiel, référentiels non galiléens, Cours 6 : Fonction de transfert - Fourier - filtres électrocinétiques, Cours 8 : mouvement de charges dans un conducteur, Naissance de la relation entre l'électricité et le magnétisme, Loi de Coulomb, interaction électrostatique, Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle, Champ électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles, Distributions continues de charges et champ électrique, Champ électriques créés par des distributions continues, Définition et continuité du champ électrique, Visualisation d'un champ électrique : lignes de champ, Calcul de champ par méthode intégrale : exemple du fil infini, Flux du champ électrique à travers une surface, Application du théorème de Gauss au fil infini, Symétries et invariances en électrostatique, Champ électrique créé par un fil infini : calcul par la méthode intégrale, Champ électrique créé par un fil infini : calcul par le théorème de gauss, EM2 : Potentiel et énergie électrostatique, EM4 : Conducteurs en équilibre, condensateurs, EM8 : Mouvement de charges dans un conducteur, Notion de champ, champ électrostatique créé par une charge ponctuelle ou une distribution discrète de charges, Distributions continues de charges, lignes de champ, Le dernier chapitre concerne le mouvement des charges dans un conducteur, Série de vidéos sur le cours EM17 où l'on présente les notions d'inductions, Série de vidéos sur le cours EM16 où l'on parle de dipôle magnétique, Série de vidéos sur le cours EM15 qui traite du champ magnétique, Série de vidéos sur le cours EM14 qui traite des conducteurs et condensateurs, Série de vidéos sur le cours EM13 qui traite du dipôle électrostatique, Playlist vidéos sur x y ) x Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q 1 située au point P 1 est défini pour tout point Mde l’espace par :! Supposons que l'on ait l'axe des x chargé sur un segment AB avec une densité de charge linéique constante λ et, un point M (xM, yM) dans le plan xOy où l'on veut déterminer le champ produit par les charges réparties sur AB. Toute l'électrostatique dans un milieu homogène est dans ces dernières formules, quoiqu'il faille remarquer que ces formules ne sont pas définies si le point de coordonnées (xi, yi, zi) porte une charge ponctuelle, ce qui n'est d'ailleurs qu'une approximation non-physique (ρ devrait y être infini). \\\text{en Newton (N). α = r → 1 Autrement dit, on peut le consid´erer comme un objet physique qui va interagir avec les charges. 0 S ϕ ) → M M En déduire, par un … → On peut, si on le souhaite, expliciter l'élément infinitésimal de surface dS : il s'agit d'une portion de surface d'un cylindre, c'est-à-dire $r \times d\theta \times dz$. , Les papiers se collent à la règle et y restent tant que les charges ne sont pas équilibrées. π \end{equation}, \begin{equation} \end{equation}, \begin{equation} r 3 r La distribution de charge ne dépend que de r, donc ~Eet V(r) aussi. y S \end{equation}, \begin{equation} d\overrightarrow{E}(M)\cdot\overrightarrow{e_r}= ( z Dans le cas d'une distribution volumique de charges, le champ est défini et continu en tout point de l'espace, sans restriction. Dans ce paragraphe, il est supposé que O et M ne sont pas confondus  (sinon les formules n'auraient aucun sens car ce serait équivalent à calculer le potentiel de O sur lui-même ce qui est absurde). Pour un soutien régulier pour la production de nouvelles vidéos, rendez-vous sur le patreon, Pour soutenir notre travail global, cliquez sur ce lien, Retrouver, entre autres, des contenus de travaux pratiques, produits par l'équipe de physique de l'ENSCR, AccueilPlan du siteStatistiquesContact , Propriétés des lignes de champ électrostatique 2.2. , ε = ( 4 2 \end{array} λ λ ε + , x ∫ Soit un plan infini, uniformément chargé en surface, de densité surfacique de charge σ, à distance r du plan. Le plan $\pi_1$ est un plan de symétrie pour la distribution (le fil), le champ $d\overrightarrow{E}$ doit être contenu dans ce plan : il ne peut donc pas avoir de composante selon $\overrightarrow{e_z}$. n x → d\overrightarrow{E}(M)= \frac{dq}{4\pi\epsilon_0R^2}\overrightarrow{u} ( {\displaystyle V(r)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}} S = On constate aussi expérimentalement qu’il existe deux sortes de charges que l’on distingue par leur signe, et que la matière est constituée de particules de charges variées, toutes multiples de celle de l’électron, appelée « charge élémentaire » ; cependant en électrostatique on se contentera de dire que lorsqu'un objet est chargé en volume, il contient une densité volumique de charge À partir de là, on peut considérer deux catégories de corps : les isolants, ou diélectriques, où l’état d’électrisation se conserve localement et les conducteurs où cet état se répartit sur la surface du conducteur. − ( − x z {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OM} }}={\vec {r}}=r\,{\vec {e_{r}}}} → λ nécessaire], Richard P. Feynman, Robert B. Leighton (en) et Matthew Sands (en), Le Cours de physique de Feynman [détail de l’édition], InterEditions (1979). z 2 n y On a utilisé : π i r La valeur du champ $\overrightarrow{E}$ peut varier le long d'une ligne de champ, les lignes de champ ne permettent donc de connaître que la direction du champ. r = = Q ) ε 0 On cherche à étudier le champ et le potentiel créés par un dipôle à grande distance, c'est-à-dire pour une distance r vérifiant ≫, r étant la distance OM et d la distance NP .. On va ainsi effectuer des développements limités à l’ordre 1 en : c’est ce qu'on appelle l'approximation dipolaire. {\displaystyle E_{r}(r)={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}}. − Si M est à la distance z du plan, considérons un prisme élémentaire symétrique par rapport au plan et dont une base, de surface dS, passe par M : a ) ( div La playlist dédiée est disponible ici : Vous pouvez également visionner une vidéo particulière : L'interaction électromagnétique est une des quatre interactions fondamentales : ces interactions régissent → Surfaces équipotentielles et lignes de champ 2.4. … π x q où q est la charge totale ρv de la sphère. x {\displaystyle {\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{a}^{b}{\frac {x_{M}-x}{r^{3}}}\,dx={\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{a}^{b}{\frac {(x_{M}-x)dx}{r^{3}}}=-{\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}y_{M}}}\int _{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\!\!\sin \alpha \,d\alpha } Une autre expérience du même style consiste à observer qu'un filet d’eau est dévié si on en approche un film de cellophane. 0 \Phi = \iint_S d\Phi = \iint_S \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}= \iint_S \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{n}dS = 0 = Il faudra également que l'on sache calculer la charge $Q_{int}$ à l'intérieur du volume. le cours EM12 sur le potentiel et l'énergie, Playlist vidéos sur aussi remarquer qu'il était bien possible de sortir le terme $E_r(r)$ de la double intégration z + λ d {\displaystyle \mathrm {d} V={\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\,V\cdot \mathrm {d{\overrightarrow {OM}}} =-{\vec {E}}(\mathrm {M} )\cdot \mathrm {d{\overrightarrow {OM}}} } Plus tard, les travaux d'Oersted (en 1820) démontre qu'un courant qui traverse un fil engendre le déplacement d'une aiguille aimantée située dans son voisinage. π + Dans la configuration de la figure 13, trois paramètres (R, z et $\alpha$) jouent le même rôle, celui de situer le point P par rapport à l'origine du repère : nous allons en garder un seul, l'angle $\alpha$. π d ) 3°) Notion de champ électrostatique. ∫ x   1°) Charges électriques. = Un cours assez dense sur la notion de fonction de transfert, des théories de Fourier (décomposition en série et transformée) et des filtres électriques. En effet, un principe appelé principe de Curie dit que les symétries des causes doivent se retrouver dans les effets : ‖ σ π S l'interaction forte (celle qui assure la cohésion des noyaux des atomes) et l'interaction faible (qui permet notamment les réactions nucléaires). z y ∬ M Dans le cas du vide, on la note ε0. {\displaystyle V(b)=\int _{-a}^{a}\,{\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {dx}{b-x}}={\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\ln \,{\frac {b+a}{b-a}}}, Potentiel d'un disque chargé de rayon R à une distance z de son centre le long de son axe : … e 3 21 b ⋅ σ y 0 ( \boxed{\overrightarrow{E}= \iint_{P \in S} \frac{dq}{4\pi\epsilon_0PM^2}\overrightarrow{u}= \iint_{P \in S} \frac{\sigma dS}{4\pi\epsilon_0PM^2}\overrightarrow{u}} = Les lois obtenues peuvent se généraliser à des systèmes variables (quasi-électrostatique) pourvu que la distribution des charges puisse être considérée comme en équilibre à chaque instant. v Il est donc crucial d'étudier les symétries pour réduire le nombre de variables ; voir la partie autour des invariances. a Si elles nous semblent si faibles, c'est justement parce qu'à cause même de l'intensité de ces forces, les charges positives et négatives sont forcées d'être quasi exactement à l'équilibre et que les forces d'attraction et de répulsion s'annulent à l'échelle macroscopique. i - Champ créé … \begin{array}{cccc} {\frac {\overrightarrow {PM}}{r^{3}}}dx={\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{a}^{b}\!\!\left({\frac {(x_{M}-x){\vec {i}}+y_{M}{\vec {j}}}{r^{3}}}\right)dx} 2 d 0 Distributions continues et champs associés. , ( {\displaystyle {\frac {(x_{M}-x)}{y_{M}}}=\tan \,\alpha } = ε z i Le champ électrique produit par le peigne est suffisant pour exciter le gaz à l’intérieur du tube. E S 0 \end{equation}, \begin{equation} Le théorème de flux-divergence est un théorème d'analyse vectorielle, utilisable en électrostatique pour obtenir une équation locale du champ électrique. ε = ; Comme entre le champ et le potentiel électrostatique existe la relation différentielle , et que V s'exprime en volt (V), on en déduit que E s'exprime en "volt par mètre" : Vm-1. $\overrightarrow{PM}.\overrightarrow{e_r}$ représente la projection de $\overrightarrow{PM}$ sur l'axe dirigé par $\overrightarrow{e_r}$, donc : Ce théorème va permettre un calcul de champ plus aisé (à condition que les symétries de la distribution soient suffisantes) : sans calcul d'intégrale ! L'électrostatique est la branche de la physique qui étudie les phénomènes créés par des charges électriques statiques pour l'observateur. ( Les invariances vont nous permettre d'éliminer des coordonnées dont dépend le champ électrique en un point M. Il y a invariance lorsque la vue de la distribution est identique en un point M et un point M' (M' obtenu par translation ou rotation depuis M), ou bien si le champ électrique calculé en M et en M' est identique. si on prend un point M à l'intérieur de la sphère, il est entouré de charges alors qu'un point M' situé sur le même rayon mais en périphérie de la sphère ne voit que des charges en dessous de lui. \left\{ i x π Champ créé par trois charges au sommet d'un triangle. Electromagnétisme 2 Année2020-2021. \end{equation}, \begin{equation} z , S est le vecteur allant de Pi au point M. Dans l'élément de volume dxi dyi dzi autour du point Pi il y a un élément de charge ρ(xi,yi, zi)dxi dyi dzi. 0 ⁡ I – Interaction électrique et charge . r d La somme de $d\overrightarrow{E_P}$ et de $d\overrightarrow{E_{P'}}$ , donne un vecteur $d\overrightarrow{E}$ orthogonal au plan $\Pi'$. π → | E Exercice 1 : Champ électrostatique créé par des charges Trois charges ponctuelles +q, -q et -q sont placées aux sommets d’un triangle équilatéral de côté a. Déterminer les caractéristiques du champ électrostatique régnant au centre du triangle. Les vecteurs unitaires que nous utiliserons pour calculer les champs E 1 y E 2 sont représentés en rouge dans la figure. ) ρ ( ∬ 4 x P ) π {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}},~{\frac {\partial V}{\partial y}},~{\frac {\partial V}{\partial z}}}. ∬ dz &= r \times d(\tan \alpha)\\ Les symétries et antisymétries vont nous permettre d'éliminer des composantes du champ électrique. Description: questions sur un champ électrostatique créé par des charges ponctuelles. = R ( r e S 3 v ρ i ) D’où l’importance de l’électricité statique : si le champ électrique d’un simple peigne est suffisant pour exciter un gaz, la décharge d’électricité statique dans un appareil électronique sensible peut aussi le détruire.
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